Reproducción del experimento de Eratóstenes

En mi entrada El cálculo de Eratóstenes describí como Eratostenes calculó la circunferencia de la Tierra como mucha aproximación real hace 2200 años a partir de la relación de ángulos de sombras y la distancia entre un lugar donde no hay sombra en un día del año con otro lugar donde sí hay sombra. La estimación de Eratóstenes fue de 39740 km de circunferencia terrestre.

Al mediodía del solsticio de verano, el 21 de diciembre último, reproduje el experimento de Eratóstenes con la sombra que hace una viga. La medición resultó muy sencilla: la altura de la viga respecto del piso fue de 2,27m y la longitud de la sombra de la viga con la vertical del piso fue de 0,45m.

Elementos para el experimento de Eratóstenes

Fuente: archivo personal

El ángulo α es el que hace la distancia de la sombra con la vertical y la sombra con la viga y su tangente es la siguiente:

tan α = 2,27 / 0,45

tan α = 5,04

Entonces el ángulo es:

α = atan 5,04

α = 78,787º

El ángulo β es 90º - 78,787º = 11,21º

El ángulo complementario de α es β que mide 11,21º. Entonces, sabiendo que al mediodía del solsticio de verano no hay sombra en el Trópico de Capricornio, este ángulo es el mismo que hace el centro de la Tierra con Lima y un punto del Trópico de Capricornio por la propiedad de los ángulos alternos internos (los rayos del Sol son paralelos y el radio de la Tierra que llega a la viga es una transversal). 

Con la distancia de 1436 km que hay entre Lima y el hito del Trópico de Capricornio que se encuentra en Antofagasta, completamos el cálculo.

Geometría de la medición

Fuente: archivo personal

Entonces la relación es la siguiente:

11,213º es a 1436 km; como

360º es a x

x = 360 x 1436 / 11,213

x = 46103 km

Me equivoqué más que Eratóstenes! la circunferencia de la Tierra es 40075 km. Mi hipótesis es que el cálculo debe ser mejor estimado cuando el punto de medición se encuentra cerca del meridiano del punto de referencia en la línea del trópico. Eratóstenes escogió Siena y Alejandría. Esta última ciudad está en 40º longitud este y Siena en el 43º, es decir solo 3º de diferencia, mientras que Lima está en 77º longitud oeste y el hito de Antofagasta en 70º, es decir 7º de diferencia.

Una extensión del experimento nos llevaría a estimar la distancia al Sol. Con el experimento anterior se puede calcular el radio de la Tierra.

2πr = 46103 km (suponiendo que arrastro el error)

r = 7337 km

Con este dato del radio se puede calcular de manera empírica la distancia al Sol construyendo la geometría respectiva a escala para usar relaciones trigonométricas. Sin embargo, no es simple porque el ángulo que hace el centro del Sol con Lima y el hito del Trópico de Capricornio en Antofagasta es muy pequeño, por lo tanto es necesario hacer mediciones milimétricas de la sombra.

Astrofotografía del cometa Tsuchinshan-Atlas (C/2023 A3)

En el mes de octubre de 2024 pasó cerca de nuestro planeta el cometa Tsuchinshan-Atlas (C/2023 A3). Un reto personal fue fotografiarlo cerca de Lima, a pesar de sus condiciones climáticas. Los cometas tienen una trayectoria de elipse o hipérbola con el Sol en un foco. Cuando se encuentran cerca del Sol, se hacen más brillantes y la cola se hace más prominente, por ello es el mejor momento para fotografiarlos. Este cometa, al tener una trayectoria hiperbólica, no volverá a pasar por el Sol.

A fines de setiembre el cometa Tsuchinshan-Atlas pasó por un lado del Sol, de manera que se le vio por el amanecer, poco antes que el Sol apareciera. A comienzos de octubre el cometa estuvo detrás del Sol, es decir no se le pudo ver. Antes de la quincena de octubre el cometa apareció por el otro lado del Sol, de manera que se le vio al anochecer. 

La siguiente fotografía la tomé el 13 de octubre en el malecón de La Punta-Callao, frente a la isla San Lorenzo, a las 18:49 horas. Los instrumentos que utilicé fueron un trípode y una cámara Canon RP con una lente de 16mm. El cometa no fue visible a simple vista, sin embargo, la cámara apuntaba en dirección hacia la posición donde se encontraba el cometa de acuerdo al app Stellarium. Hay que tener en cuenta que me encontraba dentro de una ciudad con gran polución lumínica. Mi única esperanza fue que al procesar la foto pueda verse el cometa, dado el gran angular de la lente. La altura del cometa era 6º 23' y su azimut 270º 23'.

Los parámetros utilizados para la fotografía fueron:

1. f/5.6
2. ISO 800
3. 15 segundos

Cometa Tsuchinshan-Atlas

Fuente: archivo personal

En la foto también aparece Venus. De la revisión en las redes sociales, no he encontrado otra fotografía de este cometa tomada desde Lima o Callao, teniendo en cuenta la nubosidad casi permanente en Lima, especialmente al amanecer o atardecer. He visto buenas fotografías del cometa tomadas desde Cusco. La mía, quizás sea la única desde Lima o Callao.

Las constelaciones oscuras

En esta entrada utilizaré las fotos de la Vía Láctea que realicé en mi expedición a Marcahuasi el año 2023 para señalar las constelaciones oscuras que imaginaron los antiguos peruanos en la época de los Incas. Llamadas así porque no son figuras conformadas por estrellas sino por el contraste de la zona brillante de la Vía Láctea con el polvo interestelar oscuro.

El cronista Joseph de Acosta (1540-1600) hace mención de estas áreas oscuras cuando las observó en el Virreinato: La via lactea que llaman corre mucho y muy resplandeciente a esta vanda y vese en ella aquellas manchas negras tan admirables. Por su parte, el Inca Garcilaso de la Vega también las menciona: en la vía que los astrólogos llaman láctea, en unas manchas negras que van por ella a la larga, quisieron imaginar que havía una figura de oveja con su cuerpo entero, que estaba amamantando un cordero. A mí me la querían mostrar, diziendo: Ves allí la cabeza de la oveja, ves acullá la del cordero mamando, ves el cuerpo, braços y piernas del uno y de el otro. Mas yo no veía las figuras, sino las manchas, y devía de ser por no saberlas imaginar.

Cabe recordar que no se tiene un registro dibujado de estas constelaciones oscuras. Todas las imágenes que se encuentran en internet son interpretaciones libres a partir de los relatos de los cronistas.

A continuación, he tratado de dibujar lo que es la llama y su cría entre la zona este de la Crux y el sur de Scorpius. La verdad es que le doy la razón a Garcilaso, no logro ver al animal o su cría, sin embargo, es la misma situación cuando los antiguos griegos decían ver al navío argos en el cielo. Las áreas sombreadas serían los animales. Los ojos de la llama madre serían los punteros de la cruz (las estrellas alfa y beta Centauri). La otra área no sombreada sería un zorro (atoq), sin embargo, me fue difícil imaginarlo.

La llama y su cría

Fuente: archivo personal

A continuación, la constelación de Yutu (perdiz) en lo que se conoce como Saco de Carbón en la constelación Crux. La forma del animal es difícil imaginarla. Hay otra constelación hacia el oeste de Cruz que se llama Machacuay (culebra), la cual no me fue posible capturar con la cámara porque esa zona de la Vía Láctea estaba muy iluminada al anochecer. 

 

Yutu (perdiz)

Fuente: archivo personal

Finalmente, el antropólogo norteamericano Gary Urton menciona que en su trabajo de investigación, entre 1975 y 1977, encontró a campesinos quechuahablantes en Cusco que tenían dos tipos de clasificación de constelaciones: tipo estrella a estrella y del tipo negro (El sistema de orientaciones de los incas y de algunos quechuahablantes actuales tal como queda reflejado en su concepto de la astronomía y del universo - Universidad de Illinois). Esto nos revela que el conocimiento andino sobre las constelaciones oscuras se ha transmitido a través de generaciones.

Bibliografía

1. de Acosta, Joseph (1590). Historia natural y moral de las Indias.
2. de la Vega, Garcilaso (1609). Comentarios reales de los Incas.

Wernher von Braun sobre Paulet

Cuando fui escolar me llevaron a ver una exposición sobre Pedro Paulet en una galería que tenía el Banco Wiese en la Av. Larco de Miraflores (ahora es el Scotiabank). En la exposición me sorprendió ver unas páginas de un libro de Wernher von Braun, donde se mencionaba a Pedro Paulet.

Aquel libro se trata de History of rocketry and space travel, escrito conjuntamente con Frederick I. Ordway III. Wernher von Braun fue un ingeniero aeroespacial alemán que formó parte de la SS en la Segunda Guerra Mundial. Colaboró en el desarrollo del V2, un misil para destruir las ciudades aliadas. Cuando se rindió, von Braun fue llevado a EEUU y fue perdonado por su cooperación con el desarrollo de la cohetería en ese país. Entre 1960 y 1970 fue director del George C. Marshall Space Flight Center de la NASA y responsable del diseño de los cohetes de las misiones Mercury (Redstone) y Apollo (Saturn).

Portada del libro de von Braun

Pedro Paulet no es el inventor de los cohetes, sin embargo, hizo contribuciones importantes en la química de la propulsión de cohetes. Ya en la Guerra del Pacífico se hicieron intentos para usar torpedos autopropulsados para destruir a los buques chilenos, como por ejemplo el torpedo Lay fabricado en EEUU. 

Respecto a la mención sobre Paulet, en el libro de von Braun, hice una traducción de la página 35:

Paulet hizo sus experimentos en Paris entre 1895 y 1897 utilizando un cohete cuyo motor estaba hecho de acero al vanadio. No continuó su trabajo por dificultades económicas y por las quejas de sus vecinos. Por algún motivo desconocido, Paulet no dio a conocer su trabajo hasta el 7 de octubre de 1927 a través del diario El Comercio.

Un ingeniero ruso que vivía en Alemania, Alexander Scherschevsky, enterado del artículo, lo resumió en su libro Die Rakete für Fahrt und Flug (el cohete para viaje y vuelo), publicado en Berlín en 1929. El propelente que usó Paulet era peróxido de nitrógeno y gasolina, la ignición se realizaba con una chispa en la cámara de combustión, y las pruebas fueron satisfactorias. El motor que pesaba poco más de 5 libras producía un empuje de 200 libras con 300 explosiones por minuto. Paulet afirmaba que esto podría funcionar por una hora sin sufrir una deformación apreciable.

Si no hubiera sido por Scherschevsky, Paulet nunca hubiese sido conocido. El experimento del peruano llamó la atención a autores alemanes posteriormente y subsecuentemente de sus escritos en todo el mundo, con el resultado de que se convierte en el pionero, a nivel mundial, en desarrollar un propelente líquido para cohetes.

El artículo de El Comercio, escrito por Paulet desde Roma, tenía dos columnas y media en el cual reclamaba la prioridad de su invención. Después de poner atención en muchos planes para cohetes de aviones y naves espaciales, muy en boga en Europa en esa época, Paulet decía que “30 años antes había concebido esas ideas cuando yo era un estudiante del Instituto de Química Aplicada en la Universidad de París”.

Él expresó el miedo que su reclamo no sea creído y llamó a sus amigos estudiantes en el Barrio Latino a anunciar al mundo sobre sus experimentos, los cuales fueron, sin embargo, “hechos realmente, sin testigos…”. Paulet murió el 30 de enero de 1945 con sus reclamos aún no confirmados.

Bibliografía

von Braun, Wernher y Frederick I. Ordway III (1969). History of rocketry and space travel. Thomas Y. Crowell Company, New York.

Remembranza a Bernardo Regal Alberti

En esta entrada quiero hacer un homenaje al maestro y mi querido amigo Bernardo Regal Alberti, recordando algunos aspectos de su vida académica a través de un discurso de despedida que le hice en la Universidad San Ignacio de Loyola. Conocí a Bernardo en la Universidad de Lima en circunstancias en la que se formaba el Círculo de Estudios de Astronomía en el Programa de Estudios Generales. Con él hicimos el viaje legendario, que describí en Reseña astronómica en la Universidad de Lima, por los observatorios astronómicos del norte de Chile.

Tuve la suerte de apoyarlo en el Curso de Cosmología como asistente, donde fui testigo de su docencia y cercanía con sus alumnos. El humor de Bernardo era muy original, como difundir entre los profesores del curso que era la reencarnación de Albert Einstein. Es una pena que este 30 de junio de 2024 se nos haya ido Bernardo.

Bernardo (delante de la bandera) en el observatorio La Silla - Chile

Fuente: Archivo personal

Luego de su paso por la Universidad de Lima por 35 años (desde 1970 a 2005), donde fue uno de los profesores de los cursos de Filosofía y Cosmología, llegó a dictar el curso de Ética en la Universidad San Ignacio de Loyola hasta cuando decidió retirarse de la vida académica, momento en que mi amigo Enrique Espinoza Benavides me pidió hacer un discurso de despedida, el mismo que a continuación transcribo.

Discurso de despedida a Bernardo Regal 

(Universidad San Ignacio de Loyola)

Tengo el honor de que me hayan invitado a la ceremonia de despedida académica del profesor Bernardo Regal. Más aún de haberme concedido un espacio para hacer un pequeño discurso a manera de testimonio personal. Hablaré de Bernardo por su lado cosmológico-científico que siempre practicó como docente en la Universidad de Lima y que es el que más conozco y no tanto del lado filosófico que es por el que más se le conoce.

Conocí a Bernardo en 1991 en la Universidad de Lima cuando se desempeñaba como profesor y coordinador de un curso de segundo ciclo, desaparecido ya, que se llamaba Cosmología. Recuerdo con mucha nostalgia en aquella época que en las clases de este curso se visionaban los videos (en formato Betamax) de la serie Cosmos de Carl Sagan y un documental del profesor británico, el astrofísico Stephen Hawking, heredero de la cátedra Lucasian de Isaac Newton en Cambridge.

Este curso dio lugar a la creación del Círculo de Astronomía bajo el auspicio de entusiastas profesores como Bernardo Regal y alumnos de todas las facultades, hecho que se produjo luego del eclipse parcial de sol del 11 de junio de 1991. En el Círculo hubo un trabajo bastante exitoso en la transmisión de conocimientos y en la práctica astronómica que nos llevó a hacer una gira muy planificada y organizada para visitar los observatorios más importantes del mundo en el hemisferio sur localizados en Chile (Cerro Tololo, Cerro La Silla y Cerro Las Campanas) y relacionarnos con los colegas de la Asociación Chilena de Astronomía y Astronáutica en Santiago.

Asimismo, recuerdo mucho la Conferencia “Astronomía versus Astrología” cuando Bernardo junto con Ricardo Braun y yo defendimos la ciencia frente a la pseudociencia, esta última representada por cosmobiólogos, astrológos, entre otros, en la Semana de la Astronomía de la Universidad de Lima del año 1992. El Aula Magna estuvo totalmente llena, fue un éxito total en asistencia del alumnado y profesores. Luego de un acalorado debate con argumentos de Kepler y Copérnico encontrados en la historia de la ciencia, Bernardo siempre conciliador, casi al final de la conferencia tomó parte a favor de los dos extremos.

El trabajo en el Círculo de Astronomía también tuvo proyección social a través de cursos de astronomía dirigidos al público en general, el apoyo a la Asociación Peruana de Astronomía y el convenio con el Instituto Pedagógico de Monterrico que tenía un telescopio refractor con un lente de 12cm construido por una monja aficionada a la astronomía y que estaba guardado por años en un domo.

En una de las tantas salidas a Cieneguilla para la observación de estrellas, constelaciones y planetas despertamos de las carpas con melodías de Bernardo tocando un acordeón. Si bien Bernardo no nos acompañó en todas las salidas de observación, él, solitariamente ha realizado importantes aportes a la astronomía, por ejemplo, ha registrado observaciones sistemáticas como el conteo de los días de sol durante el año en Lima y ha tomado fotografías de las puestas del sol en los solsticios y equinoccios desde la azotea de su casa. Esto es una contribución importante a la motivación y un ejemplo de la práctica de la astronomía en el Perú.

Al respecto, agradezco a Bernardo el interés que siempre puso en los aportes que se podían hacer para la divulgación de la ciencia. Debo considerar en este caso la insistencia para la publicación de un artículo que escribí sobre el observatorio que la Universidad de Harvard instaló a fines del siglo XIX en Arequipa (poco después de la Guerra del Pacífico) y sobre los aportes que ahí se hicieron a la astrofísica norteamericana y mundial como el descubrimiento de las estrellas variables cefeidas en la Nube Menor de Magallanes que fueron estudiadas por la astrónoma Henrietta Swan Leavitt y que sirvieron posteriormente para calcular las distancias de la Tierra a las estrellas y galaxias. Algún día lo publicaremos Bernardo.

Su pasantía por el Instituto de Astrofísica de Canarias también motivó a Bernardo su interés por la arqueoastronomía que es una ciencia que poco se ha practicado o estudiado en el Perú y cuyo potencial científico es enorme. Alguna vez quisiera que nuestros arqueólogos tengan el interés y el conocimiento para estudiar seriamente la astronomía en el antiguo Perú a través de la aplicación de la astronomía de posición y la mecánica celeste. Todas las civilizaciones antiguas por razones de sobrevivencia medían el tiempo a través de la ruta que hace el Sol durante el año y descubrieron que existían puntos extremos en las salidas y puestas del Sol que les permitió planificar la agricultura que era muy necesaria para obtener sus alimentos. Estos puntos son conocidos hoy como los equinoccios y solsticios. Hay tantos lugares como Caral, Sechín o Machu Picchu donde muy poco se ha trabajado de manera seria en la investigación fascinante de la arqueoastronomía. Al respecto, recuerdo las referencias de Bernardo sobre las evidencias astronómicas de la Huaca Tres Palos que se ubica dentro del Parque de las Leyendas.

Como maestro, Bernardo fue siempre amigo. Personalmente he sentido que es un hombre muy preocupado por el aprendizaje de los jóvenes universitarios, muchas veces ha dado a conocer su fascinación por una pedagogía basada en las propuestas de Kant para enseñar los cursos de filosofía. Por otro lado, lo considero como uno de los mejores divulgadores de la astronomía en el Perú a través de su enseñanza en las clases de Cosmología y su trabajo personal que es permanente.

Como maestro de los cursos que ha dictado ha usado pedagógicamente el humor inteligente en clase como elementos motivadores pues siempre ha estado interesado en el proceso pedagógico para el aprendizaje de los cursos de filosofía y ciencias. Para la enseñanza de estos cursos siempre ha tratado de comunicar a los jóvenes la importancia de la observación empírica, el razonamiento crítico y la integración en una visión del cosmos.

Asimismo, quiero mencionar muy afectuosamente algo que caracteriza de cuerpo entero el humor de Bernardo: él afirmaba ser la reencarnación de astrofísico y premio Nobel Albert Einstein a través de un documento suscrito por él y acreditado por los colegas del curso de Cosmología. Esto causó mucha gracia y ha quedado como huella entre los que lo conocemos, aunque ahora Bernardo dice que ya salió del esqueleto de Einstein y por el momento es Clint Eastwood.

Finalmente, quiero agradecer a los organizadores de esta despedida, en especial a Enrique Espinoza, la invitación que me han hecho, y agradecer a Bernardo por su trabajo pedagógico y sus aportes valiosos a la divulgación de la astronomía. Muchas gracias.

14 de julio de 2009