El paso cenital del Sol sobre Lima

Se enseña en los colegios que el Sol pasa sobre nuestras cabezas a las 12pm todos los días. Esta afirmación es totalmente falsa. Hay lugares en la Tierra donde el Sol nunca pasa sobre el cenit y los lugares por donde pasa, solo lo hace dos veces al año.

Nuestro planeta se encuentra inclinado respecto a su plano de órbita (la eclíptica), lo que hace que los rayos del Sol no caigan de manera uniforme sobre la superficie de la Tierra, teniendo como límites los trópicos de Capricornio y Cáncer para caer perpendicularmente, es decir para realizar un paso cenital.

Entonces, el paso cenital del Sol ocurre solo en los lugares que se encuentran entre los trópicos, es decir, entre las latitudes 23º 27' al norte y al sur del ecuador. Lima está a 12º al sur, lo que significa que es una ciudad tropical. Este hecho ocurre en octubre y en febrero de todos los años. Los días pueden variar un poco, pero en 2024 fue el 16 de febrero y volverá a ocurrir en este año el 25 de octubre.

Trayectoria del Sol

Fuente: archivo personal

La explicación es simple, el trayecto ortogonal de los rayos del Sol sobre la superficie de la Tierra va desde la latitud 23º 27' sur (Trópico de Capricornio) donde el 21 de diciembre los rayos caen perpendicularmente hasta la latitud 23º 27' norte (Trópico de Cáncer) donde el 21 de junio los rayos caen perpendicularmente, pasando por el ecuador, latitud 0º dos veces, el 21 de marzo y el 22 de setiembre cuando los rayos caen perpendicularmente. Cuando sucede sobre los trópicos estamos en los solsticios, y cuando lo hace en el ecuador, estamos en los equinoccios.

Trópico de Capricornio en Antofagasta

Fuente: archivo personal

Entonces, el paso cenital para Lima sucede cuando los rayos del Sol están yendo desde el Trópico de Capricornio (el 21 de diciembre) hacia el norte, llegando a Lima aproximadamente en la segunda semana de febrero. Pasan por el ecuador el 21 de marzo y siguen al norte hasta el Trópico de Cáncer (el 21 de junio). Luego regresa hacia el sur, pasando nuevamente por el ecuador el 22 de setiembre y por Lima aproximadamente la tercera semana de octubre, para llegar nuevamente al Trópico de Capricornio el 21 de diciembre. El ciclo se repite nuevamente.

En los días del paso cenital del Sol ocurre el hecho que los objetos no tienen sombra en un momento del día. No es precisamente a las 12pm, sino uno minutos alrededor porque la hora que usamos en nuestros relojes es la hora civil, no es la hora solar. El 16 de febrero de 2024 en Lima el paso cenital ocurrió a las 12:21pm y ocurrirá nuevamente el 25 de octubre a las 11:51am. En la foto siguiente se puede apreciar la verticalidad de la sombra de una viga en ese día, o el paso del Sol por un ducto en la otra foto.

Caída perpendicular de la sombra

Fuente: archivo personal

Paso del Sol por un ducto

Fuente: archivo personal

En los lugares donde el paso cenital del Sol no existe, como en Santiago de Chile o Madrid, las sombras son más largas y nunca ocurre el día sin sombra. Las siguientes fotos fueron tomadas en el Central Park de Nueva York (40º 46' norte) al mediodía del 26 de enero de 2019. Se puede apreciar que el Sol se encuentra muy bajo en el horizonte, produciendo una sombra bastante larga.

El Sol al mediodía en Nueva York

Fuente: archivo personal

Sombras al mediodía en Nueva York

Fuente: archivo personal

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El cálculo de Eratóstenes

Siempre me han gustado los razonamientos sencillos que expresan mucho contenido. Especialmente, en la astronomía se encuentran algunos de estos. El más célebre y divertido es el cálculo de Eratóstenes (Cirene, 276 a. C. - Alejandría, 194 a. C.) de la circunferencia de la Tierra. Este conocimiento no se tomó en cuenta durante muchos siglos, e incluso Colon no tuvo cálculos parecidos para estimar la distancia hacia la India desde el oeste de Europa, casi 1700 años después.

La primera vez que vi el cálculo de Eratóstenes fue en la serie Cosmos de Carl Sagan en el capítulo 1: Las orillas del océano cósmico. Eratóstenes fue un sabio griego que ejerció la geografía como una disciplina y gracias a ello llegó a calcular la distancia al Sol en unos 804 000 000 estadios que equivale a 148 752 060 km, muy similar a la unidad astronómica actual. También estimó la distancia a la Luna en 780 000 estadios, sin embargo, en este último subestimó el cálculo.

Cosmos, Capítulo 1 (min 28:15 a 34:40)

Fuente: Youtube

Asimismo, determinó la oblicuidad de la eclíptica respecto del ecuador en 23º 51' 19'', dato que usó Ptolomeo. Sin duda su célebre cálculo de la circunferencia de la Tierra hace más de 2200 años es impactante por su simplicidad y por el supuesto que nuestro planeta era una esfera.

Eratóstenes tuvo conocimiento en la Biblioteca de Alejandría que en la ciudad de Siena, la actual Asuán, no había sombra al mediodía en el solsticio de verano, mientras que ese mismo día en la ciudad de Alejandría sí había sombra. Hoy es conocido que los lugares entre los trópicos no tienen sombra al mediodía dos veces al año. Esto es porque el eje de rotación está inclinado respecto del ecuador, lo que produce que los rayos del Sol se proyecten perpendicularmente sobre la Tierra solo en una franja limitada por dos extremos llamados trópicos (Capricornio y Cáncer). En otras partes del planeta, fuera de esos límites, siempre hay sombra al mediodía.

La eclíptica y los trópicos

Fuente: archivo personal

En realidad, Siena no se encuentra exactamente en un lugar tropical, está casi a 0,5° al norte del Trópico de Cáncer, es decir, a 68 km aproximadamente. Probablemente, la sombra fue muy pequeña para ser observada en el solsticio de verano. Si consideramos que por el movimiento de la Tierra en época de Eratóstenes (hace 2200 años) los trópicos estaban más cerca del ecuador, entonces la distancia de Siena al Trópico de Cáncer era de 41 km.

Asimismo, Siena y Alejandría no se encuentran en el mismo meridiano, es decir una línea imaginaria que dé la vuelta a la Tierra pasando por esos dos puntos no pasará por los polos terrestres. La diferencia es de aproximadamente 3° de longitud.

Ubicación de Siena y Alejandría

Fuente: Google Earth

El razonamiento para deducir la esfericidad o la curvatura de la Tierra es simple, si en dos lugares distantes un mismo día se tienen sombras del mismo tamaño de un mismo gnomon, o no se tienen sombras, entonces se puede pensar que la Tierra es plana. Pero eso no ocurría, entonces la Tierra es curva.

Con los instrumentos de la época, Eratóstenes pudo medir en Alejandría el ángulo que hace la sombra de un gnomon al mediodía del solsticio de verano. Actualmente, eso lo podemos fácilmente hacer usando un poco de trigonometría porque se forma un triángulo recto, dividiendo la longitud del gnomon entre la longitud de la sombra para hallar el arco tangente. Los conceptos de trigonometría aparecieron aproximadamente en la época de Eratóstenes gracias a Aristarco e Hiparco. Si no lo hizo, podría haber utilizado la medida egipcia del seked sabiendo el origen cirenaico de Eratóstenes.

Trigonometría de la sombra

Fuente: archivo personal

Conociendo el valor de ese ángulo α, que era aproximadamente 7,2° (1/50 de un círculo), usó la propiedad de la igualdad de los ángulos formados por una recta que interseca a dos rectas paralelas, de tal manera que determinó que el ángulo de la sombra del gnomon es igual al ángulo que hace Siena, Alejandría y el centro de la Tierra.

Cálculo de la circunferencia de la Tierra

Fuente: archivo personal

A continuación, solo queda saber la distancia entre Siena y Alejandría para que con una regla de tres se determinara la circunferencia de la Tierra. Eratóstenes estimó esa distancia en 5040 estadios que equivalen aproximadamente a 794.8 km, por lo tanto:

794.8 km / 7,2° = x / 360°    , donde x es la circunferencia de la Tierra.

Despejando x, la circunferencia de la Tierra es de 39 740 km. Si consideramos la circunferencia a través de los polos, el cálculo actual es de 40 007 km, es decir, un error de 0,67%, realmente bajo a pesar de que Siena y Alejandría no están en el mismo meridiano y que Siena no se encuentra exactamente en el Trópico de Cáncer.

El azimut solar desde Lima

Hacer experimentación con astronomía fuera de un laboratorio es muy interesante porque entras en contacto con la naturaleza y con las leyes del movimiento planetario que tanto apasionaron a Kepler y Newton. Desde hace varios años tuve pendiente registrar y medir el movimiento del Sol en el año. Me inspiré cuando supe que los incas llamaban intihuatana al "amarre" del Sol que perfectamente tiene sentido cuando se habla de los solsticios, aquellos días del año cuando al Sol alcanza su máximo desplazamiento sobre el horizonte. Por lo tanto, una forma verlo en directo es observando el azimut solar.

El azimut es el ángulo horizontal que forma un astro con respecto al norte. El azimut es parte del sistema de coordenadas horizontales o alta-azimutales. El otro elemento se denomina altitud que es la altura angular del astro a partir de su azimut. El Sol presenta distinto azimut en su movimiento diario porque su trayectoria es normalmente oblicua respecto al plano del suelo, entonces hace distintos ángulos respecto al norte.

Coordenadas horizontales

Fuente: TWCarlson - Azimut altitude.svg

Si tuviéramos un horizonte sin obstáculos y cielos despejados en todo momento, podríamos medir empíricamente el azimut solar desde el orto. Sin embargo, un horizonte con montañas lejanas o con edificios cercanos no es impedimento para la experimentación aunque se producirán errores. Es así que asumí el reto de medir el azimut solar empíricamente entre dos solsticios (diciembre - junio) en plena ciudad de Lima.

La limitación principal fueron los amaneceres nublados, por ello no tengo la información del 21/12 ni del 21/06, fechas límites de los solsticios. Los registros fueron realizados con la cámara de mi smartphone desde un mismo lugar (esto es importante como punto de referencia fijo). La cámara registró la imagen del disco solar sobre el fondo de edificios cercanos de altura irregular, con lo que se asume el error por captar al Sol en en diferentes altitudes.

Fecha y hora de recolección de información de la aparición del Sol

Fecha	Hora
23/12/21	07:09am
07/02/22	07:13am
23/02/22	06:51am
10/03/22	06:50am
21/03/22	06:40am
05/04/22	07:10am
15/04/22	07:15am
30/04/22	07:18am
16/05/22	07:18am
29/05/22	07:21am
10/06/22	07:25am
15/06/22	07:26am

Fuente: elaboración propia
En un plano de planta obtenido de Google Earth de la zona de captura de las imágenes se colocaron el punto de captura (desde donde se tomaron las fotos) y los puntos de contacto del disco solar en los edificios cercanos. Con ello se trazaron los ángulos y se midieron con un transportador digital. Para fines prácticos solo se tomaron los datos del 23/12, 21/03 y 15/06. Luego se compararon con las mediciones teóricas del azimut para dichas fechas y horas con el aplicativo Ephemeris.

Secuencia de la salida del Sol (de der. a izq. diciembre - marzo)

Fuente: archivo personal

Secuencia de la salida del Sol (de der. a izq. abril -junio)

Fuente: archivo personal

Los resultados

Los valores de los ángulos sobre el papel fueron los siguientes. Se aprecia que el ángulo desde el 23/12/21 hasta el equinoccio mide 23.5º, muy cercano a los 23º 27" que realmente es. La falta de dos días con el solsticio de verano casi no hace diferencia.

Ángulos obtenidos

Rango de fechas	Ángulo	Días transcurridos
23/12/21 al 21/03/22	23.5º	80
23/12/21 al 15/06/22	49.6º	166

Fuente: elaboración propia
Para un mayor entendimiento de la medición presento a continuación el gráfico de los ángulos sobre el mapa. Las líneas se trazaron desde el punto de referencia fijo hacia los puntos de contacto del Sol con los edificios capturados a partir de las fotografías.

Líneas de visión de la aparición del Sol

Fuente: archivo personal

Los valores teóricos del azimut en las fechas correspondientes fueron los siguientes:

Valores teóricos

Fechas	Azimut	Hora
23/12/21	111.36º	6:51am
21/03/21	88.59º	6:40am
15/06/21	62.54º	7:26am

Fuente: Ephemeris

Gráfico de los valores teóricos

Fuente: elaboración propia

A partir de los valores teóricos del azimut se pudieron reconstruir los ángulos por diferencia.

Ángulos teóricos

Rango de fechas	Ángulo
23/12/21 al 21/03/22	22.77º
23/12/21 al 15/06/22	48.82º

Fuente: elaboración propia
El error, con respecto a los valores teóricos, entre las fechas de los solsticios es menor que entre las fechas del solsticio de verano y el equinoccio. Los resultados empíricos pueden haberse afectados por: 

a) el tamaño angular del Sol, puesto que este astro es un disco circular que tiene un centro y un limbo superior e inferior, lo cual hace difícil determinar el punto de referencia del horizonte; y 

b) la refracción atmosférica haciendo que el aire actúe como un lente afectando la posición real del Sol sobre el horizonte.

Solución geométrica

A través de trazos geométricos también se pueden comprobar los resultados empíricos. En el gráfico siguiente se localiza la latitud de Lima (12.12º sur). Las líneas rojas que parten de la proyección de la latitud de Lima son paralelas al Ecuador y a los trópicos para simular la proyección de los rayos de sol en los solsticios y equinoccios en las fechas correspondientes.

Proyección de los solsticios y equinoccios en Lima

Fuente: elaboración propia

En detalle se encuentra la descripción de los triángulos que se forman, a partir de donde es fácil deducir los ángulos que hace el Sol con respecto al norte en las fechas de los solsticios y equinoccios. Tomar en cuenta que la medición empírica no considera las fechas del 21/12/2021 y 21/06/2022, sin embargo, la aproximación de la medición de los ángulos es importante. La latitud y el horizonte de Lima son perpendiculares entre sí.

Azimut del Sol

Fuente: elaboración propia

Por lo tanto, se demuestra que los resultados del experimento de la medición del azimut solar coinciden con los valores teóricos.