Al mediodía del solsticio de verano, el 21 de diciembre último, reproduje el experimento de Eratóstenes con la sombra que hace una viga. La medición resultó muy sencilla: la altura de la viga respecto del piso fue de 2,27m y la longitud de la sombra de la viga con la vertical del piso fue de 0,45m.
Elementos para el experimento de Eratóstenes
El ángulo α es el que hace la distancia de la sombra con la vertical y la sombra con la viga y su tangente es la siguiente:
tan α = 2,27 / 0,45
tan α = 5,04
Entonces el ángulo es:
α = atan 5,04
α = 78,787º
El ángulo β es 90º - 78,787º = 11,21º
El ángulo complementario de α es β que mide 11,21º. Entonces, sabiendo que al mediodía del solsticio de verano no hay sombra en el Trópico de Capricornio, este ángulo es el mismo que hace el centro de la Tierra con Lima y un punto del Trópico de Capricornio por la propiedad de los ángulos alternos internos (los rayos del Sol son paralelos y el radio de la Tierra que llega a la viga es una transversal).
Con la distancia de 1436 km que hay entre Lima y el hito del Trópico de Capricornio que se encuentra en Antofagasta, completamos el cálculo.
Geometría de la medición
Fuente: archivo personal
Entonces la relación es la siguiente:
11,213º es a 1436 km; como
360º es a x
x = 360 x 1436 / 11,213
x = 46103 km
Me equivoqué más que Eratóstenes! la circunferencia de la Tierra es 40075 km. Mi hipótesis es que el cálculo debe ser mejor estimado cuando el punto de medición se encuentra cerca del meridiano del punto de referencia en la línea del trópico. Eratóstenes escogió Siena y Alejandría. Esta última ciudad está en 40º longitud este y Siena en el 43º, es decir solo 3º de diferencia, mientras que Lima está en 77º longitud oeste y el hito de Antofagasta en 70º, es decir 7º de diferencia.
Una extensión del experimento nos llevaría a estimar la distancia al Sol. Con el experimento anterior se puede calcular el radio de la Tierra.
2πr = 46103 km (suponiendo que arrastro el error)
r = 7337 km
Con este dato del radio se puede calcular de manera empírica la distancia al Sol construyendo la geometría respectiva a escala para usar relaciones trigonométricas. Sin embargo, no es simple porque el ángulo que hace el centro del Sol con Lima y el hito del Trópico de Capricornio en Antofagasta es muy pequeño, por lo tanto es necesario hacer mediciones milimétricas de la sombra.
