La fecha de Semana Santa

El cálculo de la fecha de Semana Santa tiene una historia muy antigua. Inicialmente, nadie se puso de acuerdo en establecer la fecha de Semana Santa. A diferencia de la pascua católica o cristiana, la pascua judía (Pésaj) conmemora la liberación de los israelitas del yugo de faraón de Egipto, hecho narrado en el libro del Éxodo, por ello, es una tradición muy antigua para el pueblo judío. Por esta razón, la fecha había sido establecida, desde tiempos muy antiguos, el 14 del mes de Nisán que comienza en la noche de luna llena después del equinoccio vernal. Para el año 2025 fue el 12 de abril.

En el caso de la pascua cristiana, desde sus inicios, la fecha no había sido muy bien establecida dado que relativamente fue una fiesta reciente el hecho de conmemorar la resurrección de Cristo. Habían cristianos en Roma, en Alejandría, en Atenas, en Esmirna, entre otros lugares, y todos ellos interpretaban cuándo debe ser la fecha de celebración.

Cristo

Fuente: Exposición Historia de la Semana Santa de Lima: Tradición y Fiesta (imagen proveniente de la Iglesia de la Soledad, Centro de Lima)

En el año 260 DC, Anatolio de Laodisea calculó la fecha de Semana Santa, estableciendo que el domingo pascual debe ser celebrado el primer domingo luego de la luna llena pascual, para ello había creado unas tablas sobre las fechas de la luna llena pascual. Hay que recordar que en aquella época se usaba el calendario juliano. Sin embargo, el Concilio de Nicea I (325 DC) abordó el tema del Computus o cálculo de la fecha de Semana Santa, estableciendo ciertos criterios, tomando como referencia los cálculos de los alejandrinos:

• La pascua se celebra en domingo por ser el día que resucitó Jesús.
• No debe coincidir con la Pascua judía.​
• No se celebre nunca la Pascua dos veces en el mismo año, porque el año nuevo empezaba con el equinoccio vernal, por lo que se prohibía la celebración de la pascua antes de este equinoccio.

El problema es que continuaba la discrepancia entre alejandrinos y romanos sobre cuando era la fecha del equinoccio vernal, que es una fecha variable en realidad (en 2025 cayó 20 de marzo, pero en el 2044 caerá 19 de marzo).

Finalmente, en el año 525 DC, Dionisio El Exiguo planteó a Roma un cálculo que se basaba en las estimaciones alejandrinas:

• La pascua cae siempre en domingo por ser el día que resucitó Jesús (Dies Dominicus).
• Este domingo es el siguiente tras la primera luna llena del equinoccio vernal. Sin embargo, mientras este equinoccio puede variar entre el 19 y 21 de marzo, Dionisio fijó un equinoccio vernal eclesiástico, cuya fecha es siempre el 21 de marzo, diferenciándose del evento astronómico.
• Si la luna llena cae domingo, la pascua se traslada al domingo siguiente para evitar coincidir con la pascua judía.

Con ello, la pascua más temprana debe ser el 22 de marzo, si la luna llena cae el 21 de marzo y es sábado. La fecha más tarde es el 24 de abril, cuando la luna llena cae el 20 de marzo y es domingo, entonces hay que esperar la siguiente luna llena que es el lunes 18 de abril, por lo que la pascua debe ser el domingo 24 de abril. La siguiente tabla puede ayudar a entender esto.

Tabla de cálculo de la fecha de Semana Santa

Fuente: elaboración propia

Los cálculos futuros se basan en la edad lunar, llamada epacta, es decir, la diferencia en días que el año solar excede al año lunar, el día del ciclo lunar en que está la Luna el 1 de enero del año cuya pascua se quiere calcular. Este número varía entre 0 y 29. Gauss y otros matemáticos inventaron tablas para la determinación de las fechas futuras de Semana Santa.

Copernico, el economista

Mientras Nicolás Copernico tuvo funciones como administrador de los bienes del cabildo de Frombork en 1516, se dio cuenta del funcionamiento del dinero a raíz de las disputas de los Caballeros Teutónicos quienes habían perdido la guerra polaca teutónica. Durante su trabajo, Copernico se encargaba de proveer bienes a los colonos de las tierras de Pomerania Oriental, Chelmno y Warmia, devueltas por los Caballeros Teutónicos a Polonia. Al calcular el valor de las granjas se topó con el problema de la circulación de la moneda debido a que los Caballeros Teutónicos habían retirado las monedas acuñadas en Gdansk y Torun que tenían buena proporción de plata para fundirlas y fabricar las mismas monedas pero con menor plata.

Entonces, escribió en 1528, para la Dieta Prusiana, un documento denominado Monetae cudendae ratio (Tratado sobre la moneda) donde explica como la moneda de menos valor (menor cantidad de oro o plata), que empobrece a la economía, desplaza a la moneda de mayor valor. Además propuso una solución que consistió en la acuñación de una moneda oficial, garantizada por el rey, con una aleación de plata u oro necesaria para que la diferencia entre el valor real y el valor nominal sea suficiente para cubrir el costo de acuñación, eliminando así el principal atractivo de la fundición.

(...) El oro o la plata marcados con una impresión constituyen la moneda utilizada para determinar el precio de las cosas que se compran y se venden, según las leyes establecidas por el Estado o el príncipe. El dinero es pues, de algún modo, una medida común de estimación de valores; pero esta medida debe ser siempre fija y conforme a la regla establecida. De lo contrario, habría necesariamente desorden en el Estado: compradores y vendedores serían engañados a cada momento, como si el codo, el celemín o el peso no retuvieran una cierta cantidad. Ahora bien, esta medida reside, en mi opinión, en la estimación del dinero. Aunque esta estimación se basa en la bondad del material, no obstante debe distinguirse de su valor. De hecho, el dinero puede valorarse más que el material del que está hecho, y viceversa. (...)

Fuente: Tratado sobre la moneda

Es así que Copernico se adelantó 30 años a Sir Thomas Gresham quien se dio cuenta de que en las transacciones, la gente prefería pagar con la moneda más débil y guardarse la más fuerte, para cuando, llegado el caso, exportarla o fundirla, pues tenía mayor valor como divisa o como metal en lingotes. Entre los economistas polacos y de Europa del Este esto se conoce como la Ley Copernico-Gresham.

Asimismo, Copernico expresó tempranamente la teoría cuantitativa del dinero que indica que el nivel de precios está en relación a la cantidad de dinero en la economía, teoría desarrollada por Fisher (1911), Marshall (1871) y Pigou (1917), y más recientemente por Milton Friedman en la década de los 50s.

(...) El dinero pierde su valor sobre todo cuando se ha multiplicado demasiado, cuando, por ejemplo, una cantidad tan grande de plata se ha transformado en dinero que la gente llega a buscar lingotes de plata más que dinero en efectivo. El dinero pierde toda su dignidad cuando ya no puede comprar tanta plata como la que contiene y hay ganancias en fundirlo nuevamente. El único remedio entonces es dejar de acuñar moneda hasta que ésta recupere su equilibrio y alcance un valor superior al de la plata. (...)

Fuente: Tratado sobre la moneda 

Copérnico consideró que la disminución del valor del dinero que acompaña a un aumento de su cantidad se producía principal o exclusivamente en relación con el valor de la mercancía del metal monetario y no con el valor de todas las demás mercancías (Spiegel, 1991).

En paralelo a estas actividades administrativas, Copernico continuó sus observaciones astronómicas e inició su gran obra De revolutionibus en 1519. 

Bibliografía

Henry William Spiegel (1991). The Growth of Economic Thought. Duke University Press

Sociedad Científica de Torun (1972). Nicolas Copernico 1473-1973. Editorial Científica Polaca.

Los relojes de sol en el Perú

Los relojes de sol son instrumentos muy antiguos que se usaban para medir el paso del Sol durante el día, permitiendo saber qué hora del día es. Hay que diferenciarlos de los calendarios que son los instrumentos que miden el paso del Sol o de la Luna durante al año. Se dice mucho que los incas tuvieron relojes de sol, sin embargo, eso nunca se ha demostrado. Uno muy famoso es el llamado Intihuatana, en Machu Picchu, pero no existe ningún estudio serio que haya demostrado que se trata de un reloj de sol. Lo que sí ha existido desde tiempos preincas son calendarios solares y lunares, por ejemplo, Chankillo, un calendario que mide los meses del año desde un solsticio al otro. Asimismo, los Incas tuvieron un calendario solar-lunar.

Los relojes de sol realizan micromediciones del día. Todos podemos dar cuenta que la sombra del Sol varía en tamaño a una misma hora durante el año (ver la entrada Un reloj de Sol para Lima) y la técnica para convertir ese hecho llevó a la fabricación de relojes de sol desde el siglo VII - V a. C.

En el Perú, se han fabricado algunos relojes de sol, todos del tipo ecuatorial, uno muy conocido es el de Chucuito, en Puno que data de 1831. El reloj está en una placa sobre un pilar de piedra. Se dice que este pilar fue construido por mandato del corregidor Pedro de Melgar en el año de 1561 y le llamaban El Rollo que es donde se anunciaban las disposiciones legales. En la parte superior del pilar está incrustado el reloj de sol ecuatorial cuyo dial es una placa aparentemente de mármol y su style es una barrita delgada de fierro. 

Reloj de sol en Chucuito-Puno

Fuente: Google Fotos

Asimismo, sobre la catedral de Cajamarca (iglesia de Santa Catalina) se encuentra un reloj de sol ecuatorial que se le puede ver desde la calle Amalia Puga. No he encontrado la fecha de su construcción, pero se dice que antes estuvo en la plaza de armas de Cajamarca. Este reloj se encuentra bastante deteriorado, a diferencia del de Chucuito. Tanto el pedestal como el reloj parecen hechos de una misma pieza. El style parece estar torcido.

Reloj de sol en Cajamarca

Fuente: archivo personal

Finalmente, hay un reloj de sol en el distrito de Quiñota, en la provincia de Chumbivilcas, en Cusco. Este reloj es similar al de Chucuito. Se encuentra en la plaza de armas del distrito. Se destaca que la población de Quiñota se identifica como la "Tierra de Waka Waqra y Reloj Solar".

Reloj de sol en Quiñota-Chumbivilcas-Cusco

Fuente: video de Ever Benito (Youtube)

Reproducción del experimento de Eratóstenes

En mi entrada El cálculo de Eratóstenes describí como Eratostenes calculó la circunferencia de la Tierra como mucha aproximación real hace 2200 años a partir de la relación de ángulos de sombras y la distancia entre un lugar donde no hay sombra en un día del año con otro lugar donde sí hay sombra. La estimación de Eratóstenes fue de 39740 km de circunferencia terrestre.

Al mediodía del solsticio de verano, el 21 de diciembre último, reproduje el experimento de Eratóstenes con la sombra que hace una viga. La medición resultó muy sencilla: la altura de la viga respecto del piso fue de 2,27m y la longitud de la sombra de la viga con la vertical del piso fue de 0,45m.

Elementos para el experimento de Eratóstenes

Fuente: archivo personal

El ángulo α es el que hace la distancia de la sombra con la vertical y la sombra con la viga y su tangente es la siguiente:

tan α = 2,27 / 0,45

tan α = 5,04

Entonces el ángulo es:

α = atan 5,04

α = 78,787º

El ángulo β es 90º - 78,787º = 11,21º

El ángulo complementario de α es β que mide 11,21º. Entonces, sabiendo que al mediodía del solsticio de verano no hay sombra en el Trópico de Capricornio, este ángulo es el mismo que hace el centro de la Tierra con Lima y un punto del Trópico de Capricornio por la propiedad de los ángulos alternos internos (los rayos del Sol son paralelos y el radio de la Tierra que llega a la viga es una transversal). 

Con la distancia de 1436 km que hay entre Lima y el hito del Trópico de Capricornio que se encuentra en Antofagasta, completamos el cálculo.

Geometría de la medición

Fuente: archivo personal

Entonces la relación es la siguiente:

11,213º es a 1436 km; como

360º es a x

x = 360 x 1436 / 11,213

x = 46103 km

Me equivoqué más que Eratóstenes! la circunferencia de la Tierra es 40075 km. Mi hipótesis es que el cálculo debe ser mejor estimado cuando el punto de medición se encuentra cerca del meridiano del punto de referencia en la línea del trópico. Eratóstenes escogió Siena y Alejandría. Esta última ciudad está en 40º longitud este y Siena en el 43º, es decir solo 3º de diferencia, mientras que Lima está en 77º longitud oeste y el hito de Antofagasta en 70º, es decir 7º de diferencia.

Una extensión del experimento nos llevaría a estimar la distancia al Sol. Con el experimento anterior se puede calcular el radio de la Tierra.

2πr = 46103 km (suponiendo que arrastro el error)

r = 7337 km

Con este dato del radio se puede calcular de manera empírica la distancia al Sol construyendo la geometría respectiva a escala para usar relaciones trigonométricas. Sin embargo, no es simple porque el ángulo que hace el centro del Sol con Lima y el hito del Trópico de Capricornio en Antofagasta es muy pequeño, por lo tanto es necesario hacer mediciones milimétricas de la sombra.

Astrofotografía del cometa Tsuchinshan-Atlas (C/2023 A3)

En el mes de octubre de 2024 pasó cerca de nuestro planeta el cometa Tsuchinshan-Atlas (C/2023 A3). Un reto personal fue fotografiarlo cerca de Lima, a pesar de sus condiciones climáticas. Los cometas tienen una trayectoria de elipse o hipérbola con el Sol en un foco. Cuando se encuentran cerca del Sol, se hacen más brillantes y la cola se hace más prominente, por ello es el mejor momento para fotografiarlos. Este cometa, al tener una trayectoria hiperbólica, no volverá a pasar por el Sol.

A fines de setiembre el cometa Tsuchinshan-Atlas pasó por un lado del Sol, de manera que se le vio por el amanecer, poco antes que el Sol apareciera. A comienzos de octubre el cometa estuvo detrás del Sol, es decir no se le pudo ver. Antes de la quincena de octubre el cometa apareció por el otro lado del Sol, de manera que se le vio al anochecer. 

La siguiente fotografía la tomé el 13 de octubre en el malecón de La Punta-Callao, frente a la isla San Lorenzo, a las 18:49 horas. Los instrumentos que utilicé fueron un trípode y una cámara Canon RP con una lente de 16mm. El cometa no fue visible a simple vista, sin embargo, la cámara apuntaba en dirección hacia la posición donde se encontraba el cometa de acuerdo al app Stellarium. Hay que tener en cuenta que me encontraba dentro de una ciudad con gran polución lumínica. Mi única esperanza fue que al procesar la foto pueda verse el cometa, dado el gran angular de la lente. La altura del cometa era 6º 23' y su azimut 270º 23'.

Los parámetros utilizados para la fotografía fueron:

1. f/5.6
2. ISO 800
3. 15 segundos

Cometa Tsuchinshan-Atlas

Fuente: archivo personal

En la foto también aparece Venus. De la revisión en las redes sociales, no he encontrado otra fotografía de este cometa tomada desde Lima o Callao, teniendo en cuenta la nubosidad casi permanente en Lima, especialmente al amanecer o atardecer. He visto buenas fotografías del cometa tomadas desde Cusco. La mía, quizás sea la única desde Lima o Callao.