Analema, en griego
ἀνάλημμα, significa pedestal de un reloj de sol, sin embargo, esto no le hace honor a su significado astronómico. En el diccionario
DGE en línea sale una interpretación más aproximada:
proyección sobre un plano de partes de la esfera celeste (Hero Dioptr.304.19, tít. de una obra de Ptolomeo, Vitr.9.6.1, 7.6, tít. de una obra del matemático Diodoro de Alejandría, Papp.246.1.). En español no hay palabra equivalente que tenga el mismo significado, pero eso no quiere decir que no se use el término analema (pero no sé si es femenino o masculino, convencionalmente usaré el masculino). Esta entrada requiere conocer algunos conceptos de astronomía de posición, por lo que pondré enlaces para que el lector pueda revisar esos conceptos.
En términos prácticos, un analema es la posición del Sol desde un observador en el mismo lugar a una misma hora durante un año. Puede haber dos formas de capturar esto: i) proyectando la posición del Sol sobre el suelo o sobre un papel; o ii) fotografiando al Sol. Siempre desde el mismo lugar y a la misma hora. Construir un analema actualmente en Lima no es algo fácil porque la vida laboral entre la semana no garantiza la permanencia en un mismo lugar a una misma hora, además se necesita brillo solar de buena calidad en determinada hora y lugar.
Analema
Fuente: Wikimedia Commons
El registro de la proyección del Sol en horario laboral durante el refrigerio es una buena opción, siempre que nuestra estrella se encuentre al alcance y se tengan las condiciones para ello, como tener un gnomon fijo, tener acceso al
mediodía solar verdadero y tener la orientación norte sur para controlar el tamaño de la sombra. Sin embargo, no tuve esas condiciones, entonces decidí solo medir la sombra de un obstáculo durante un año en determinados momentos, para ello utilicé un gnomon móvil perpendicular al suelo y una regla. Como gnomon utilicé una estructura de aluminio y como regla, una de metal.
Afortunadamente, tenía al Sol por mi ventana todo el otoño e invierno. Sin embargo, en la primavera y el verano tuve que trasladarme a una terraza para hacer las mediciones. En esas condiciones realicé las mediciones de la sombra a las 13:09 horas, 13:16 horas, 13:23 horas, 13:29 horas, 13:40 horas, 13:49 horas y 14:03 horas, desde el 23 de marzo de 2023 hasta el 19 de marzo de 2024. Pude recoger 315 datos en 45 días de observación en la latitud 12.04637º y longitud 77.02857º.
La construcción de un analema requiere conocer la
declinación solar y la
ecuación del tiempo, variables que dependen de la posición del observador y del día del año. Mis observaciones se centraron en obtener la declinación solar, sin embargo, bajo las condiciones que no se dieron tuve que construir un modelo geométrico para estimar
una declinación a partir de la
elevación del Sol. Digo una declinación porque consideré esta como la distancia angular del centro de la Tierra al Sol con el
ecuador celeste. Sin embargo, en realidad es la distancia angular del observador al sol con el ecuador celeste. Entonces a mi declinación la llamaré seudo declinación.
Hay que tener en cuenta que la declinación varía con el transcurso de los días y muy poco en el mismo día, por lo que conviene que la medición se realice en el mediodía solar verdadero. Hay fórmulas empíricas que permiten estimar la declinación, pero quise construir mi propia fórmula. Por otro lado, la ecuación del tiempo es la diferencia entre el
tiempo solar medio (medido por un reloj) y el
tiempo solar aparente (medido por un reloj de sol) que se produce por la inclinación del eje de rotación de la Tierra y la forma de elipse que tiene su traslación. Hay fórmulas empíricas que miden la ecuación del tiempo en segundos en cada día del año.
El dato que recogí de los instrumentos fue la longitud de la sombra que hacía el gnomon, la misma que registré en una hoja de cálculo junto con la fecha y hora. Teniendo la longitud de la sombra y el tamaño del gnomon se puede calcular la altura del Sol, tal como se muestra en la siguiente figura. El ángulo θ es la altura del Sol (atan θ).
Altura o elevación del Sol
Fuente: elaboración propia
Con el dato de la altura del Sol, deduje la seudo declinación solar, es decir el ángulo que hace la línea imaginaria del centro de la Tierra al Sol con el ecuador celeste. Para ello planteé tres situaciones: i) cuando el Sol se encuentra al norte del ecuador (desde el
equinoccio de marzo hasta el equinoccio de setiembre), ii) cuando el Sol se encuentra entre el ecuador y la latitud de Lima en el punto de observación (desde el equinoccio de primavera hasta el Sol cenital de octubre y del Sol cenital de febrero al equinoccio de marzo), y iii) cuando el Sol se encuentra al sur de la latitud de Lima (desde el Sol cenital de octubre hasta el Sol cenital de febrero).
Esto se realiza porque consideré la declinación solar como el ángulo que hace el ecuador con una línea desde el centro de la Tierra al Sol. Ese ángulo no es el mismo ángulo de la altura del Sol (θ) mostrado en la figura anterior. Los gráficos siguientes explican este hecho. Utilizando trigonometría, construí el modelo geométrico para los tres casos y hallé la seudo declinación como una función del ángulo θ.
Donde:
El ángulo θ es la altura del Sol
El ángulo α es la seudo declinación
D es la distancia del centro de la Tierra al centro del Sol
d es la distancia desde el suelo del observador en la Tierra al centro del Sol
r es el radio de la Tierra
h es la altura del Sol en distancia desde el horizonte del observador
l es la distancia desde el observador hasta la línea ortogonal h
El asterisco en los gráficos corresponde al Sol. El coeficiente 12 es la latitud de punto de observación, que en realidad es 12.04637º.
Modelo geométrico (caso i)
Fuente: elaboración propia
En el caso i), las relaciones trigonométricas utilizadas fueron:
tan θ = h/l (1)
sen (12+α) = l/D (2)
sen θ = h/d (3)
de (1) y (2)
h/tan θ = sen (12+α) . D (4)
de (3) en (4)
sen θ . d/tan θ = sen (12+α) . D
α = asen (d . cos θ/D) - 12
Como d/D es cercano a 1, entonces α = asen (cos θ) - 12
Modelo geométrico (caso ii)
Fuente: elaboración propia
En el caso ii), las relaciones trigonométricas utilizadas fueron:
tan θ = h/l (1)
sen (12-α) = l/D (2)
sen θ = h/d (3)
de (1) y (2)
h/tan θ = sen (12-α) . D (4)
de (3) en (4)
sen θ . d/tan θ = sen (12-α) . D
α = 12 - asen (d . cos θ/D)
Como d/D es cercano a 1, entonces α = 12 - asen (cos θ)
Modelo geométrico (caso iii)
Fuente: elaboración propia
En el caso iii), las relaciones trigonométricas utilizadas fueron:
tan θ = h/l (1)
sen α = l/D (2)
sen θ = h/d (3)
de (1) y (2)
h/tan θ = sen α . D (4)
de (3) en (4)
sen θ . d/tan θ = sen α . D
α = asen (d . cos θ/D)
Como d/D es cercano a 1, entonces α = asen (cos θ)
De esta manera, obtuve la seudo declinación del Sol en cada día de observación en función del ángulo θ. La gráfica del seudo analema sale de una tabla donde la ecuación del tiempo (segundos) acompaña a la seudo declinación (radianes). Como realicé mediciones en siete momentos distintos, obtuve siete seudo analemas. A continuación, muestro el seudo analema de la 13:09 horas.
Seudo analema de las 13:09 horas
Fuente: elaboración propia
La forma de ocho corresponde a la posición del sol en diferentes días del año. El ángulo de la declinación varía a lo largo del año entre +/- 23°27', pero al mismo tiempo existe una diferencia entre tiempo solar medio y el tiempo solar verdadero, que puede variar hasta en 17 minutos. En ese sentido, los equinoccios deben coincidir con la declinación 0º y los
solsticios con la declinación +/- 23º 27' (negativo para el hemisferio sur) que justamente es la inclinación del eje de la Tierra respecto al ecuador. Evidentemente, no salieron esos parámetros en el seudo analema, nótese que los equinoccios están sobre la declinación 0º y los solsticios sobrepasan la declinación +/- 23º 27' (+/-0.41 radianes), por lo que la figura real debería ser más achatada en la escala del gráfico.
Hitos del seudo analema
Fuente: elaboración propia
Las dificultades que tuve en la medición fueron las siguientes:
- Condiciones inadecuadas, sobre todo para la captura de información por falta de acceso al mediodía solar verdadero.
- La calidad de sombra: se requiere mucho brillo solar, sin nubes, que no ocurre frecuentemente en el invierno de Lima. Por ello hay menos mediciones entre junio y diciembre. Básicamente, esto es lo que repercute en la forma del seudo analema.
- La división de milímetros de la regla: la medición fue en divisiones de 0,5 milímetros. Es imposible al ojo medir en menor graduación.
- El gnomon no estaba fijo en el lugar de observación: no tenía como fijar el gnomon, de haberlo hecho podría haber medido curvas de las sombras sobre el papel.
- La medición de segundos entre minutos: aproximé la medición a los 30 segundos de cada minuto, pero estuve sujeto a observar la división de los milímetros de la regla, por lo que me desvié en varias ocasiones.
En la siguiente fotografía se representa el seudo analema superpuesto en el cielo del punto de observación, imaginando como se vería la posición del Sol a las 13:09 horas durante un año (no está a escala).
Simulación del pseudo analema en el cielo
Fuente: archivo personal. Composición por Tamara Mori Gutiérrez
Este experimento astronómico ha sido retador, sobre todo por la constancia que tuve para medir la sombra de un gnomon durante un año para ver que podía resultar y por la aplicación matemática y geométrica de la astronomía de posición. Lo sorprendente es que el resultado fue una figura similar a un analema. El analema que resulta según las fórmulas empíricas de la declinación solar y de la ecuación del tiempo, en los días de observación del experimento a las 13:09 horas es el siguiente.
Analema según fórmulas
Fuente: elaboración propia
